arg 全称 argument，中文叫辐角，是复数里面的概念，对于复数 z = a + bi，arg (z) 就是这个复数对应的向量与实轴正方向的夹角，单位一般是弧度，取值范围主值通常规定在 (-π, π]，arg 不是唯一的，相差 2π 的整数倍都属于辐角，主辐角一般记作 Arg 的主值，考试里面写 arg 一般就是求主辐角。
核心公式
复数 z = a + bi
tanθ=ab
arg(z)=θ，但是不能直接只算 arctan (b/a)，必须根据 a 和 b 的正负判断象限！这是最容易出错的地方。
分象限判断规则
- a>0，b>0 第一象限：arg (z)=arctan (b/a)
- a<0，b>0 第二象限：arg (z)= arctan (b/a)+π
- a<0，b<0 第三象限：arg (z)= arctan (b/a)-π
- a>0，b<0 第四象限：arg (z)=arctan (b/a)
特殊情况
- z = a>0（b=0，正实数）：arg (z)=0
- z = a<0（b=0，负实数）：arg (z)=π
- z = bi>0（a=0，正虚数）：arg (z)= π/2
- z = bi<0（a=0，负虚数）：arg (z)= -π/2
- z=0 时，arg (0) 无定义
计算例题
例 1：z = 1 + i，a=1>0，b=1>0，第一象限
arg (z)=arctan (1/1)= π/4
例 2：z = -1 + i，a=-1<0，b=1>0，第二象限
arg (z)= arctan (1/(-1)) + π = -π/4 + π = 3π/4
例 3：z = -1 - i，a=-1<0，b=-1<0，第三象限
arg (z)= arctan ((-1)/(-1)) - π = π/4 - π = -3π/4
辐角性质
arg(z₁z₂) = arg(z₁)+arg(z₂) + 2kπ
arg(z₁/z₂) = arg(z₁)-arg(z₂) + 2kπ
注意：等式结果要换算到主值区间 (-π, π]
对照表
表格
| 复数 | 实部 a | 虚部 b | 象限 | arg 主值 |
|---|---|---|---|---|
| 1+i | 1 | 1 | 第一 | π/4 |
| -1+i | -1 | 1 | 第二 | 3π/4 |
| -1-i | -1 | -1 | 第三 | -3π/4 |
| 1-i | 1 | -1 | 第四 | -π/4 |
FAQ
问题 1 arg 怎么算 为什么不能直接 arctan (b/a)
回答 arg 怎么算，arctan 函数本身值域只有 (-π/2, π/2)，只能表示一四象限，二、三象限必须额外加或者减 π，所以必须结合 a、b 符号判断象限。
问题 2 arg 怎么算 arg 和 Arg 有区别吗
回答 arg 怎么算，小写 arg 代表全部辐角（多值，相差 2π 整数倍），大写 Arg 一般特指主辐角，很多教材书写不严格，做题看清题目要求。
问题 3 arg 怎么算 主值区间可以是 [0,2π) 吗
回答 arg 怎么算，部分教材主值区间定义为 [0,2π)，考试优先看课本规定，国内高数主流是 (-π, π]。
免责申明
本文内容仅为复变函数数学教学演示，计算时以教材规定主值区间为准。